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孙膑是孙武的后代，曾与庞涓同学兵法，后涓为魏王将军，诳他到魏，处以膑刑，故称孙膑。他提倡“赏不逾日，罚不还面”。认为采取“营而离之，并卒而击之”等方法。著作有《孙膑兵法》。
孙膑是春秋时期大军事家孙武的后代，曾和庞涓一起学习兵法。
后来，魏惠王花重金招纳天下豪杰。庞涓见到魏惠王后，向他讲了很多富国强兵的道理。魏惠王听了十分高兴，就拜庞涓为大将。
庞涓熟读兵书，善于用兵，在魏国天天操练兵马。他先从附近几个小国下手，一连打了几个胜仗，后来连齐国也被他打败了。从此，魏惠王更加信任庞涓。
但是，庞涓知道天下有个人的才能比他更高，那就是孙膑。庞涓十分嫉妒孙膑，就把他从齐国骗到魏国。有一次，庞涓在魏惠王面前诬陷孙膑私通齐国。魏惠王十分恼怒，把孙膑治了罪，在他的脸上刺了字，还剜掉了他的两块膝盖骨，使他成了残废。
这下庞涓高兴了，孙膑成了残废，永无出头之日了，天下再没有谁的才能超过他了！
但是善有善报，恶有恶报，孙膑最后还是逃离魏国，并得到齐王的重用，最终打败了庞涓。孙膑为什么能得到齐王的重用呢？
有一次，齐国的使者来到魏国，孙膑暗地里以囚徒的身份求见。齐国使者觉得孙膑很有才能，就把他藏到马车里，偷偷带回了齐国。齐国的大将军田忌很欣赏孙膑，对他非常好。
田忌经常和齐王以及王子们赛马赌钱，但他赢的次数并不多，于是向孙膑请教。孙膑发现他们的马奔跑能力差不多，都可以分为上、中、下三等。于是，孙膑胸有成竹地对田忌说：“下次赛马时，您尽管下大赌注，我包你能赢！”
不久，齐王又约田忌赛马，田忌就下了千金的赌注。等到临场比赛时，孙膑对田忌说：“第一场，您用您的下等马去同他们的上等马周旋；第二场，您用您的上等马去对付他们的中等马；最后一场，您则用您的中等马去对付他们的下等马。”
三场比赛完毕，田忌只输一场而赢了两场，结果以总分取胜，赢得了齐王的千两黄金。
田忌赢了比赛，十分高兴，就把孙膑推荐给齐威王。齐威王和孙膑谈论兵法后，对他十分佩服，只恨没早点遇见他，就任他为军师。
齐国和魏国都是战国时期比较强大的国家。孙膑是齐国的军师，庞涓是魏国的大将，这两个老同学、仇人之间的斗争在所难免了。
公元前３５４年，赵国攻打卫国，要迫使卫国屈服称臣。卫国是魏国的附属国，于是魏国借口保护卫国，派庞涓出兵包围了赵国国都邯郸。赵国形势危急，派人到齐国求助。齐威王于是派田忌为主帅，让孙膑做军师，出兵解救赵国。
田忌打算率兵直奔邯郸，同魏军主力交战，以解赵国之围。孙膑却说：“要解开杂乱打结的绳索，一定要冷静地找出它的结头，然后慢慢去解，切不可心急；要把两个打架的人拉开，千万不能自己也卷进去，而是要避开双方拳来脚往的地方，寻找机会用拳猛击其中一方空虚的部位。”
孙膑接着分析说：“现在魏国出兵攻打赵国，精锐部队一定都开赴邯郸，留在国内的都是一些老弱病残了。我们不如利用这个机会，带兵直捣魏国都城大梁，占据他们的交通要道，袭击他们守备空虚的地方，他们一定会撤兵赶回救援。这样一来，我们不但可以为赵国解了围，又使得魏军疲于奔命，我们可以趁势攻击。”
田忌采纳了孙膑的策略，率军向大梁奔去。庞涓一听说齐军要攻打大梁，果然放弃了赵国国都邯郸，拼命往回赶。
当齐国的大军走到桂陵时，孙膑下令大军停了下来。他对田忌说：“魏军从邯郸返回大梁，一定要经过桂陵。如果我们在这里设下埋伏，布下阵势，一定能够把魏军一举歼灭。”田忌又依孙膑的计谋而行，很快把军队埋伏了下来。
由于魏军长期攻赵，兵力消耗很大，加上长途跋涉，士兵疲惫不堪。当庞涓率军进入齐兵埋伏的桂陵一带时，只听一声号令，齐军从路的两侧一齐奋勇杀出。魏军哪里能经受得住这突如其来的袭击？他们战死的战死，受伤的受伤，不多时，魏军就死伤两万多人，被打得落花流水。仓惶之中，庞涓率领一部分残兵败将逃跑了。
齐军大胜而归，齐威王重赏了孙膑。孙膑用围魏的办法解救了赵国，并打败了庞涓，为自己报了仇。后来，“围魏救赵”成为三十六计中的一计。
庞涓在桂陵之战被孙膑打败后，一直怀恨在心。公元前３４２年，魏国又联合赵国攻打韩国，韩国向齐国告急。齐宣王派田忌、孙膑带兵救韩国。
孙膑又使出他的老法子，不去救韩，却直接去攻打魏国的都城大梁。庞涓上次吃了孙膑“围魏救赵”的大亏，这次早有准备。当他听说孙膑进攻大梁，急忙从韩国撤军，转头将兵锋直指齐军。庞涓要好好教训一下孙膑了！
此时，齐军已经进入魏国腹地。孙膑听说庞涓率领大军赶回，知道一场激战是在所难免了。魏军强悍善战，又气势汹汹，这场仗该怎么打呢？
孙膑知道魏军素来蔑视齐军，庞涓报仇心切，一定会急于求战、轻兵冒进，于是对田忌说：“魏兵骄傲轻敌，一向认为我们齐军胆子小。我们不妨将计就计，引诱他们上当。战胜貌似强大的魏军完全是有把握的！”
田忌问：“怎么让他们上当呢？”
孙膑说：“兵法上不是说过吗？每天急行军１００里后和敌人打仗，会损失上将；每天急行军５０里后和敌人打仗，部队会损失一半。第一天，我们在营地里砌上给１０万人做饭的炉灶；第二天我们砌上５万人的炉灶；第三天减到３万人的炉灶。这样，魏军一定以为我军有许多士兵逃跑，就会更加轻敌大意。”
田忌觉得孙膑说得很有道理，于是和他认真研究了战场地形条件，决定减灶诱敌，然后设下埋伏，一举把敌人歼灭。
庞涓急于求战，下令部队急行军。一路上，庞涓发现齐军营地里的炉灶一天比一天少，高兴地说：“我早就知道齐军都是怕死鬼，进入我国境内才三天，士兵就跑了一大半。”于是，他丢下步兵，只带着一支轻装的骑兵昼夜兼程的追赶齐军。
庞涓追到马陵时，天已经黑了。马陵一带道路十分狭窄，两边地势险要，孙膑早已在这里做好了埋伏。庞涓恨不得立即把孙膑杀死，下令大军乘夜赶路。
这时，前面的士兵突然回来报告说：“前面的路给木头堵住啦！”
庞涓上前一看，果然看见道旁的树全砍倒了，只留下一棵最大的没砍。细细瞧去，那棵树的一面还刮去了树皮，白树干上影影绰绰地还写着几个大字，因为天色昏暗，看不清楚。
庞涓叫人拿来火把，趁着火光一瞧，只见上面写着：“庞涓死于此树下。”
庞涓大吃一惊，连忙下令撤退。可是已经晚了！只听见马陵道路两旁杀声震天，紧接着箭像飞蝗似的向魏军射来，魏军顿时乱作一团。一会儿，魏军就被射死大半。
庞涓见大势已去，已经无计可施了，只好拔剑自杀。临死前，他又气又恨地说：“这下可成就孙膑的名声了！”
魏军的残兵败将夺命而逃，齐军乘胜追击，前后共歼敌１０万余人。
魏国在桂陵之战和马陵之战中惨败，军事实力大大削弱，并从此一蹶不振。而齐国的力量则日益强大起来，成为当时数一数二的强国。
孙膑逼死了庞涓，从此扬名天下。
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